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Kurzfassung in Deutsch

In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie
zur Behandlung partieller Differentialgleichungen über beschränkten Gebieten unter Benutzung
einer orthogonalen Zerlegung des Raumes L_2(U) verallgemeinert. Zum einen kann diese Zerlegung
als direkte Zerlegung über dem Raum L_p(G),p>1, verallgemeinert werden, was die Untersuchung
partieller Differentialgleichungen über allgemeinen Sobolev-Räumen W_p^k(G),p>1,k natürliche Zahl,
ermöglicht. Dies wird am Beispiel des Stokes-Problems demonstriert. Zum anderen wird ein modifizierter
Cauchy-Kern über unbeschränkten Gebieten eingeführt, deren Komplement eine nichtleere offene Menge
enthält. Grundlegende Resultate der Cliffordanalysis über beschränkten Gebieten werden auf diese
Situation verallgemeinert und eine orthogonale Zerlegung des Raumes L_2(G) bewiesen. Diese Resultate
werden im weiteren dazu benutzt, das stationäre Stokes- bzw. Navier-Stokes-Problem in dem allgemeinen
Fall eines unbeschränkten Gebietes zu untersuchen. Im weiteren wird gezeigt, dass sich die entwickelten
Methoden auch auf partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung anwenden lassen. Dies wird am
Beispiel der biharmonischen Gleichung mit Randbedingungen, die Komponenten in Normalenrichtung und
tangentieller Richtung besitzen, demonstriert. Am Ende beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung
der komplexen Methoden von Vekua. Dazu werden hyperkomplexe Verallgemeinerungen des komplexen Pi-Operators
untersucht und auf die Lösung von hyperkomplexen Beltramigleichungen angewandt.

Kurzfassung in Englisch

A modified Cauchy kernel is introduced over unbounded domains whose complement contain non-empty open sets.
Basic results on Clifford analysis over bounded domains are now carried over to this more general context.
In the end boundary value problems, e.g. for the Stokes-system or the Navier-Stokes-system, will be studied
in the case of an unbounded domain without using weighted Sobolev spaces. In the latter part of this paper
we deal with hypercomplex generalizations of the complex Pi-operator which turn out to have most of the useful
properties of their complex origin. Afterwards the application of this operator to the solution of hypercomplex
Beltrami equations will be studied.

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