Dipl.-Math. Radu Ioan Bot

Duality and optimality in multiobjective optimization

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Kurzfassung in Englisch

The aim of this work is to make some investigations concerning duality for multiobjective optimization problems. In order to do this we study first the duality for scalar optimization problems by using the conjugacy approach. This allows us to attach three
different dual problems to a primal one. We examine the relations between the optimal objective values of the duals and verify,
under some appropriate assumptions, the existence of strong duality. Closely related to the strong duality we derive the optimality conditions for each of these three duals.

By means of these considerations, we study the duality for two vector optimization problems, namely, a convex multiobjective problem with cone inequality constraints and a special fractional
programming problem with linear inequality constraints. To each of these vector problems we associate a scalar primal and study the duality for it. The structure of both scalar duals give us an idea about how to construct a multiobjective dual. The existence of weak and strong duality is also shown.

We conclude our investigations by making an analysis over different duality concepts in multiobjective optimization. To a general multiobjective problem with cone inequality constraints we introduce other six different duals for which we prove weak as well as strong duality assertions. Afterwards, we derive some
inclusion results for the image sets and, respectively, for the maximal elements sets of the image sets of these problems. Moreover, we show under which conditions they become identical.

A general scheme containing the relations between the six multiobjective duals and some other duals mentioned in the literature is derived.

Kurzfassung in Deutsch

Das Ziel dieser Arbeit ist die Durchführung einiger Untersuchungen bezüglich der Dualität für Mehrzieloptimierungsaufgaben. Zu diesem Zweck wird als erstes mit Hilfe des so genannten konjugierten Verfahrens die Dualität für skalare Optimierungsaufgaben untersucht. Das erlaubt uns zu einer primalen Aufgabe drei unterschiedliche duale Aufgaben zuzuordnen. Wir betrachten die Beziehungen zwischen den optimalen Zielfunktionswerten der drei Dualaufgaben und untersuchen die Existenz der starken Dualität unter naheliegenden Annahmen. Im Zusammenhang mit der starken Dualität leiten wir für jede dieser Dualaufgaben die Optimalitätsbedingungen her.

Die obengenannten Ergebnisse werden beim Studium der Dualität für zwei Vektoroptimierungsaufgaben angewandt, und zwar für die konvexe Mehrzieloptimierungsaufgabe mit Kegel-Ungleichungen als Nebenbedingungen und für eine spezielle Quotientenoptimierungsaufgabe mit linearen Ungleichungen als Nebenbedingungen. Wir assoziieren zu jeder dieser vektoriellen Aufgaben eine skalare Aufgabe für welche die Dualität betrachtet wird. Die Formulierung der beiden skalaren Dualaufgaben führt uns zu der Konstruktion der Mehrzieloptimierungsaufgabe. Die Existenz von schwacher und starker Dualität wird bewiesen.

Wir schliessen unsere Untersuchungen ab, indem wir eine Analyse von verschiedenen Dualitätskonzepten in der Mehrzieloptimierung durchführen. Zu einer allgemeinen Mehrzieloptimierungsaufgabe mit Kegel-Ungleichungen als Nebenbedingungen werden sechs verschiedene Dualaufgaben eingeführt, für die sowohl schwache als auch starke Dualitätsaussagen gezeigt werden. Danach leiten wir verschiedene Beziehungen zwischen den Bildmengen, bzw., zwischen den Mengen der maximalen Elemente dieser Bildmengen der sechs Dualaufgaben her. Dazu zeigen wir unter welchen Bedingungen werden diese Mengen identisch.

Ein allgemeines Schema das die Beziehungen zwischen den sechs dualen Mehrzieloptimierungsaufgaben und andere Dualaufgaben aus der Literatur enthält, wird dargestellt.

weitere Metadaten

Schlagwörter
Conjugate duality
Schlagwörter
Duality in multiobjective convex optimization
Schlagwörter
Duality in multiobjective fractional programming
Schlagwörter
Location problems with demand sets
Schlagwörter
Optimality conditions
Schlagwörter
Pareto-efficient solutions and properly efficient solutions
Schlagwörter
Perturbation functions
Schlagwörter
Sets of maximal elements
Schlagwörter
Weak, strong and converse duality
DDC Klassifikation510
Institution(en) 
HochschuleTU Chemnitz
FakultätFakultät für Mathematik
GutachterProf. Dr. Gert Wanka
Prof. Dr. Johannes Jahn
Prof. Dr. Hirotaka Nakayama
DokumententypDissertation
SpracheEnglisch
Tag d. Einreichung (bei der Fakultät)10.01.2003
Tag d. Verteidigung / Kolloquiums / Prüfung25.06.2003
Veröffentlichungsdatum (online)04.07.2003
persistente URNurn:nbn:de:swb:ch1-200300842

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